每日算法 — 使用java实现最小路径和：二维动态规划与空间优化策略

问题描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和最小。

移动规则：每次只能向下或者向右移动一步。

例如，给定网格：

grid = [
  [1, 3, 1],
  [1, 5, 1],
  [4, 2, 1]
]

最小路径和为 7，路径为 1 -> 3 -> 1 -> 1 -> 1。

该问题在实际中有广泛应用，如地图导航中的最小代价路径、机器人路径规划、游戏关卡中的最优路线选择等。

核心思路：二维动态规划

状态定义

设 dp[i][j] 表示从左上角 (0, 0) 到达位置 (i, j) 的最小路径和。

状态转移方程

由于每次只能向下或向右移动，到达 (i, j) 只有两个来源：
– 从上方 (i-1, j) 向下移动
– 从左侧 (i, j-1) 向右移动

因此状态转移方程为：

$$dp[i][j] = grid[i][j] + \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])$$

边界条件

• dp[0][0] = grid[0][0]（起点）
• 第一行 dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]（只能从左侧过来）
• 第一列 dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]（只能从上方过来）

完整Java实现

/**
 * 最小路径和问题求解器
 * 使用二维动态规划，支持空间优化到一维数组
 */
public class MinimumPathSum {

    /**
     * 方法一：标准二维动态规划
     * 时间复杂度: O(m*n)，空间复杂度: O(m*n)
     *
     * @param grid 输入的二维网格
     * @return 从左上到右下的最小路径和
     */
    public int minPathSum2D(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
            return 0;
        }

        int m = grid.length;      // 行数
        int n = grid[0].length;   // 列数

        // dp[i][j] 表示到达 (i, j) 的最小路径和
        int[][] dp = new int[m][n];

        // 初始化起点
        dp[0][0] = grid[0][0];

        // 初始化第一行：只能从左侧移动过来
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }

        // 初始化第一列：只能从上方移动过来
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }

        // 填充其余位置：选择从上方或左侧过来的较小值
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                // 状态转移：当前格子的值 + min(从上方来, 从左侧来)
                dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }

        // 右下角即为最终答案
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    /**
     * 方法二：空间优化为一维数组
     * 时间复杂度: O(m*n)，空间复杂度: O(n)
     *
     * 观察发现：计算dp[i][j]时只需要当前行和上一行的数据
     * 因此可以用一维数组滚动更新，大幅降低空间占用
     */
    public int minPathSum1D(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
            return 0;
        }

        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;

        // 一维dp数组，dp[j]表示当前行第j列的最小路径和
        int[] dp = new int[n];

        // 初始化第一行的路径和
        dp[0] = grid[0][0];
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }

        // 逐行更新
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            // 每行第一个元素只能从上方过来
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];

            // 更新当前行的其余元素
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                // dp[j] 目前还是上一行第j列的值（从上方来）
                // dp[j-1] 已经是当前行第j-1列的值（从左侧来）
                dp[j] = grid[i][j] + Math.min(dp[j], dp[j - 1]);
            }
        }

        return dp[n - 1];
    }

    /**
     * 方法三：原地修改（不使用额外空间）
     * 时间复杂度: O(m*n)，空间复杂度: O(1)
     *
     * 直接在输入网格上修改，适用于允许修改原数组的场景
     */
    public int minPathSumInPlace(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
            return 0;
        }

        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;

        // 初始化第一行
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            grid[0][j] += grid[0][j - 1];
        }

        // 初始化第一列
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        }

        // 填充其余位置
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                grid[i][j] += Math.min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }

        return grid[m - 1][n - 1];
    }

    /**
     * 扩展：不仅返回最小路径和，还返回具体路径
     */
    public void printMinPath(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        // path[i][j] 记录到达(i,j)是从上方来(true)还是左侧来(false)
        boolean[][] fromAbove = new boolean[m][n];

        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
            fromAbove[0][j] = false;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
            fromAbove[i][0] = true;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (dp[i - 1][j] < dp[i][j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
                    fromAbove[i][j] = true;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
                    fromAbove[i][j] = false;
                }
            }
        }

        // 回溯打印路径
        System.out.println("最小路径和: " + dp[m - 1][n - 1]);
        System.out.print("路径: ");
        printPath(grid, fromAbove, m - 1, n - 1);
        System.out.println();
    }

    private void printPath(int[][] grid, boolean[][] fromAbove, int i, int j) {
        if (i == 0 && j == 0) {
            System.out.print(grid[0][0]);
            return;
        }
        if (fromAbove[i][j]) {
            printPath(grid, fromAbove, i - 1, j);
        } else {
            printPath(grid, fromAbove, i, j - 1);
        }
        System.out.print(" -> " + grid[i][j]);
    }

    public static void main(String[] args) {
        MinimumPathSum solution = new MinimumPathSum();

        int[][] grid = {
            {1, 3, 1},
            {1, 5, 1},
            {4, 2, 1}
        };

        System.out.println("===== 最小路径和 =====");
        System.out.println("二维DP结果: " + solution.minPathSum2D(grid));       // 7
        System.out.println("一维优化结果: " + solution.minPathSum1D(grid));    // 7

        // 复制一份用于原地修改测试
        int[][] gridCopy = {
            {1, 3, 1},
            {1, 5, 1},
            {4, 2, 1}
        };
        System.out.println("原地修改结果: " + solution.minPathSumInPlace(gridCopy)); // 7

        // 打印具体路径
        solution.printMinPath(grid);
    }
}

复杂度分析

扩展思考

1. 带有障碍物的网格：如果某些格子不能通过，可以在状态转移时增加判断条件，跳过硬编码为障碍物的格子。
2. 三维扩展：在三维空间中寻找最小代价路径，状态变为 dp[i][j][k]，扩展方向增加前后移动。
3. 概率路径：如果每个格子有一定概率被阻挡，可以结合期望计算最优策略。

总结

最小路径和是理解二维动态规划的绝佳入门问题。通过定义清晰的状态、分析状态转移来源、处理边界条件，我们能够系统性地解决网格路径问题。更重要的是，通过观察计算依赖关系，我们可以将空间复杂度从二维优化到一维甚至常数级，这是面试和工程实践中非常重要的优化技巧。